ГОСТ 32298-2013
(EN 12603:2002)
МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ
Стекло и изделия из него
Порядок определения критерия согласия и доверительных интервалов по распределению Вейбулла для значений прочности стекла
Glass and glass products. Procedures for goodness of fit and confidence intervals for Weibull distributed glass strength data
МКС 81.040.01
Дата введения 2015-01-01
Предисловие
Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены ГОСТ 1.0-92 "Межгосударственная система стандартизации. Основные положения" и ГОСТ 1.2-2009 "Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Порядок разработки, принятия, применения, обновления и отмены"
Сведения о стандарте
1 ПОДГОТОВЛЕН Открытым акционерным обществом "Институт стекла" на основе собственного аутентичного перевода на русский язык стандарта, указанного в пункте 5
2 ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии
3 ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол от 28 августа 2013 г. N 58-П)
За принятие проголосовали:
Краткое наименование страны по МК (ИСО 3166) 004-97 | Код страны по | Сокращенное наименование национального органа по стандартизации |
Армения | AM | Минэкономики Республики Армения |
Беларусь | BY | Госстандарт Республики Беларусь |
Киргизия | KG | Кыргызстандарт |
Молдова | MD | Молдова-Стандарт |
Россия | RU | Росстандарт |
Таджикистан | TJ | Таджикстандарт |
Узбекистан | UZ | Узстандарт |
4 Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 08 ноября 2013 N 1508-ст межгосударственный стандарт ГОСТ 32298-2013 введен в действие в качестве национального стандарта Российской Федерации с 1 января 2015 г.
5 Настоящий стандарт модифицирован по отношению к европейскому стандарту EN 12603:2002* Glass in building - Procedures for goodness of fit and confidence intervals for Weibull distributed glass strength data (Стекло в строительстве. Порядок определения критерия согласия и доверительных интервалов по распределению Вейбулла для значений прочности стекла) путем изменения и дополнения отдельных фраз, слов, которые выделены полужирным курсивом**, а также изменения разделов "Область применения" и "Нормативные ссылки".
________________
* Доступ к международным и зарубежным документам, упомянутым в тексте, можно получить, обратившись в Службу поддержки пользователей.
** В оригинале обозначения и номера стандартов и нормативных документов приводятся обычным шрифтом. - .
Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования европейского стандарта в связи с особенностями построения межгосударственной системы стандартизации.
Европейский стандарт разработан Европейским комитетом по стандартизации (CEN) ТК 129 "Стекло в строительстве".
Европейский стандарт, на основе которого подготовлен настоящий стандарт, реализует существенные требования безопасности Директивы ЕС (89/106/ЕЕС) по строительным материалам.
Перевод с английского языка (en).
Степень соответствия - модифицированная (MOD).
6 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ
Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном информационном указателе "Национальные стандарты", а текст изменений и поправок - в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет
1 Область применения
Настоящий стандарт устанавливает методику оценки данных выборки посредством двухпараметрической функции распределения Вейбулла.
Настоящий стандарт основывается на предположении, что статистическое распределение величины, принимаемое в рассмотрение, может быть представлено единственной функцией распределения Вейбулла, даже если в некоторых случаях (например, измерение срока службы) часто наблюдается смешанное распределение. По этой причине пользователю стандарта необходимо проверить тест на критерий согласия: могут ли данные измерений по выборке быть представлены с помощью единственной функции Вейбулла. Только в этом случае может быть принята гипотеза и применен метод, описанный в данном стандарте.
Пользователь принимает решение по этому вопросу, также рассматривая все предыдущие значимые данные и общий уровень знаний в конкретной области. Каждая экстраполяция в диапазонах квантилей, не согласованная с измеренными значениями, требует особой тщательности, настолько большей, насколько дальнейшая экстраполяция превышает диапазон измерений.
Примечание - Трехпараметрическую функцию Вейбулла определяют по формуле:
. (1)
Если предположить х=0, получится двухпараметрическая функция Вейбулла:
, (2)
которая может быть переписана в виде
. (3)
Расчеты могут основываться на любой нецензурированной или цензурированной выборках. Существует несколько способов цензурирования. В настоящем стандарте рассматривается только следующий способ цензурирования:
- данное число r В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на [1] и [2]. Примечание - При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю "Национальные стандарты", составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный стандарт заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом, следует руководствоваться заменяющим (измененным) стандартом. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку. В настоящем стандарте применяются термины и определения, установленные в [1]. В настоящем стандарте применены следующие обозначения: X - рассматриваемая величина; x, x, x - значения величины X; G(x) - функция распределения X= процент неблагоприятного исхода; x, , - параметры трехпараметрической функции Вейбулла; - опознавательный знак, указывающий на оценку параметра (например, , , ); 1- - уровень доверия; l - значение, используемое в критерии согласия; L - значение, используемое в критерии согласия; n - объем выборки; r - количество образцов, значения величин x которых были измерены; Примечание - Выборка упорядочена, т.е. ; f, f, f - степень свободы; k, k - множители, используемые в оценивании ; c - множитель, используемый в оценивании ; s-int(0,84n)= наибольшему целому числу <0,84n; , - ордината и абсцисса на диаграмме Вейбулла; - функция распределения хи-квадрат; y, , - вспомогательные коэффициенты, используемые в оценивании границ доверительного интервала G(x); А, В, С - константы, используемые при оценивании ; H(f) - переменная, используемая при оценивании ; T, T - коэффициенты, используемые при оценке доверительных интервалов значений . Нижние индексы: un - нижняя граница доверительного интервала; оb - верхняя граница доверительного интервала; z - доверительный интервал, ограниченный с двух сторон. Отсортировать r значений величины х по возрастанию. Вычислить для каждого значения от i=1 до i=r-1: . (4) Вычислить значение величины: , (5) где [r/2] - символ, используемый для обозначения наибольшего целого числа, меньшего или равного r/2. Отвергнуть гипотезу, что данные из распределения Вейбулла на - уровне значимости, если: . (6)* _______________ Значения квантиля F распределения можно найти, например, в [2]. 6.1 Цензурированная выборка (7) Коэффициенты k и С приведены в таблицах 1 и 2. Таблица 1 - Коэффициент k n r/n 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 5 0,2231 0,4813 0,8018 10 0,1054 0,2172 0,3369 0,4667 0,6098 0,7715 0,9616 1,202 20 0,0513 0,1583 0,2721 0,3944 0,5277 0,6756 0,8448 1,048 1,316 30 0,0684 0,1759 0,2904 0,4137 0,5482 0,6979 0,8697 1,077 1,357 40 0,0770 0,1848 0,2996 0,4233 0,5584 0,7090 0,8822 1,092 1,378 50 0,0821 0,1901 0,3051 0,4291 0,5646 0,7158 0,8898 1,101 1,391 60 0,0855 0,1936 0,3088 0,4330 0,5687 0,7202 0,8949 1,108 1,400 70 0,0879 0,1961 0,3114 0,4357 0,5717 0,7235 0,8985 1,112 1,406 80 0,0898 0,1980 0,3134 0,4378 0,5739 0,7259 0,9012 1,115 1,410 90 0,0912 0,1995 0,3149 0,4394 0,5756 0,7277 0,9033 1,118 1,414 100 0,0924 0,2007 0,3162 0,4407 0,5770 0,7292 0,9050 1,120 1,417 k 0,10265 0,21129 0,32723 0,45234 0,58937 0,74274 0,92026 1,1382 1,4436 d -1,0271 -1,0622 -1,1060 -1,1634 -1,2415 -1,3540 -1,5313 -1,8567 -2,6929 d 0,000 0,030 0,054 0,089 0,145 0,242 0,433 0,906 2,796 Асимптотическая оценка для больших n: k=k+d/n+d/n n r/n 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10 -2,880 -1,826 -1,267 -0,8681 -0,5436 -0,2574 0,0120 0,2837 0,5846 20 -2,547 -1,658 -1,147 -0,7691 -0,4548 -0,1727 0,0979 0,3776 0,7022 30 -2,444 -1,605 -1,108 -0,7364 -0,4253 -0,1443 0,1269 0,4098 0,7446 40 -2,394 -1,578 -1,089 -0,7202 -0,4106 -0,1301 0,1415 0,4262 0,7664 50 -2,365 -1,562 -1,077 -0,7105 -0,4018 -0,1216 0,1503 0,4360 0,7796 60 -2,345 -1,522 -1,069 -0,7040 -0,3959 -0,1159 0,1562 0,4426 0,7885 70 -2,331 -1,544 -1,064 -0,6994 -0,3917 -0,1118 0,1604 0,4473 0,7949 80 -2,321 -1,539 -1,060 -0,6959 -0,3886 -0,1088 0,1635 0,4509 0,7998 90 -2,313 -1,534 -1,056 -0,6932 -0,3861 -0,1064 0,1660 0,4537 0,8035 100 -2,307 -1,531 -1,054 -0,6911 -0,3841 -0,1045 0,1679 0,4559 0,8065 c -2,2504 -1,4999 -1,0309 -0,67173 -0,36651 -0,08742 0,18563 0,47589 0,83403 а -5,5743 -3,0740 -2,2859 -1,9301 -1,7619 -1,7114 -1,7727 -2,0110 -2,7773 а -7,201 -1,886 -0,767 -0,335 -0,091 0,111 0,369 0,891 2,825 Асимптотическая оценка для больших n: С=c+a/n+а/n 6.2 Нецензурированная (полная) выборка , (10) Коэффициент k приведен в таблице 3. Таблица 3 - Коэффициент k n k 2 0,6931 3 0,9808 4 1,1507 5 1,2674 6 1,3545 7 1,1828 8 1,2547 9 1,3141 10 1,3644 11 1,4079 12 1,4461 13 1,3332 14 1,3686 15 1,4004 16 1,4293 17 1,4556 18 1,4799 19 1,3960 20 1,4192 21 1,4408 22 1,4609 23 1,4797 24 1,4975 25 1,5142 26 1,4479 27 1,4642 28 1,4796 29 1,4943 30 1,5083 31 1,5216 32 1,4665 33 1,4795 34 1,4920 35 1,5040 36 1,5156 37 1,5266 38 1,4795 39 1,4904 40 1,5009 41 1,5110 42 1,5208 43 1,5303 44 1,4891 45 1,4984 46 1,5075 47 1,5163 48 1,5248 49 1,5331 50 1,5411 51 1,5046 52 1,5126 53 1,5204 54 1,5279 55 1,5352 56 1,5424 57 1,5096 58 1,5167 59 1,5236 60 1,5304 1,5692 7.1 Диаграмма Вейбулла График вероятностей для распределения Вейбулла составляется таким образом, чтобы функция распределения двухпараметрического распределения Вейбулла была представлена прямой линией. Ось ординат градуирована в соответствии с функцией: (12) и ось абсцисс согласно функции: или . (13) Примечание - Такие формы доступны. Как правило, надо использовать диаграммы с интервалом G значений от G=1х10=0,1% до G=0,999=99,9%. Необходимый диапазон x-значений зависит от величины параметра формы . 7.2 Графическое представление оцениваемой функции распределения Точки оценок параметра формы и параметра масштаба задают прямую линию на диаграмме Вейбулла. Этот способ подходит, чтобы определить данную прямую по двум следующим точкам: х= G(x)=0,6321=63,21%, (14) Эту прямую линию следует нанести на диаграмму. 7.3 Нанесение данных выборки на диаграмму Вейбулла 7.3.1 Однозначность Размер цензурированной или нецензурированной выборки дает r или n значений x величины X. Эти значения x следует упорядочить для формирования упорядоченной выборки. Каждое значение x упорядоченной выборки следует сопоставить с оценкой: . (16) Таким образом, точки, представляющие измеренные значения выборки, следует графически нанести на диаграмму Вейбулла. 7.3.2 Классифицированные значения В случае очень большого объема выборки диапазон измеренных х-значений может быть разделен на интервалы, как правило, содержащие одинаковое количество значений. Долю х-значений, просуммированную в каждом рассматриваемом интервале, следует нанести на верхнюю границу этого интервала. 7.4 Оценка выборочных данных Прямую линию, построенную согласно 7.2, и точки, которые представляют измеренные значения выборки, построенные согласно 7.3, можно сравнивать визуально. Систематические отклонения могут быть подробно проанализированы с учетом фундаментальных технических и научных знаний и результатов ранее выполненных соответствующих исследований. Например, если распределение значений величины может быть аппроксимировано кусочно-прямыми линиями с различным наклоном, можно предположить смешанное распределение Вейбулла. Это можно принять как свидетельство того, что несколько основных механизмов определяют значения величины x. Такое подробное рассмотрение выходит за рамки настоящего стандарта. Уравнения следующих подпунктов применимы в том случае, когда доверительные интервалы ограничены с двух сторон (индекс z). В том случае, когда доверительные интервалы ограничены только с одной стороны, /2 должна быть заменена на в следующих уравнениях. Уровень доверия (1-) выбирает пользователь настоящего стандарта. 8.1 Доверительный интервал для параметра формы Верхняя граница доверительного интервала для параметра формы при уровне доверия (1-): , (17) и нижняя граница: , (18) f следует получить с помощью умножения данных из таблицы 4, зная размер выборки n. Таблица 4 - Значения функции f/n n r/n 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 10 0,211 0,434 0,671 0,926 1,200 1,497 1,825 2,174 2,701 20 0,103 0,316 0,543 0,784 1,042 1,320 1,621 1,946 2,277 2,891 30 0,137 0,351 0,579 0,821 1,080 1,360 1,661 1,985 2,303 2,958 40 0,154 0,369 0,597 0,840 1,100 1,380 1,682 2,004 2,315 2,991 50 0,164 0,380 0,608 0,851 1,111 1,392 1,693 2,015 2,320 3,009 100 0,185 0,401 0,629 0,873 1,135 1,415 1,718 2,037 2,330 3,045 h 0,2052 0,4218 0,6514 0,8959 1,1577 1,4391 1,7416 2,0598 2,3394 3,085 h -2,052 -2,111 -2,175 -2,244 -2,314 -2,376 -2,390 -2,205 -0,856 h 0,000 0,008 0,002 -0,016 -0,064 -0,188 -0,526 -1,682 -7,928 Асимптотическая оценка для больших n: f/n=h+h/n+h/n Величины и - квантиль распределения хи-квадрат с числом степеней свободы f. Значения приведены в таблице 5. Таблица 5 - 2,5% и 97,5% квантилей для распределения Число степеней свободы p 2,5% 97,5% 1 0,000982 5,02 2 0,0506 7,38 3 0,216 9,35 4 0,484 11,1 5 0,831 12,8 6 1,24 14,4 7 1,69 16,0 8 2,18 17,5 9 2,70 19,0 10 3,25 20,5 11 3,82 21,9 12 4,40 23,3 13 5,01 24,7 14 5,63 26,1 15 6,26 27,5 16 6,91 28,8 17 7,56 30,2 18 8,23 31,5 19 8,91 32,9 20 9,59 34,2 21 10,3 35,5 22 11,0 36,8 23 11,7 38,1 24 12,4 39,4 25 13,1 40,6 26 13,8 41,9 27 14,6 43,2 28 15,3 44,5 29 16,0 45,7 30 16,8 47,0 40 24,4 59,3 50 32,4 71,4 60 40,5 83,3 70 48,8 95,0 80 57,2 106,6 90 65,6 118,1 100 74,2 129,6 Приближение для f>30 p 2,5% 97,5% u -1,9600 1,9600 8.2 Доверительный интервал для значения функции распределения G(x) при заданном значении х величины X Границы двустороннего доверительного интервала для G при уровне доверия (1-) для рассматриваемого значения х величины X следует вычислять с помощью трех вспомогательных факторов у, и . Уравнение для вспомогательного фактора у: . (19) Уравнение для вспомогательного фактора : . (20) Константы А, В, С должны быть получены путем деления значений, полученных из таблицы 6, учитывая размер выборки n. Таблица 6 - Константы A.n, B.n и C.n n r/n 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 1,0 В.n 10 9,488 4,609 2,979 2,161 1,667 1,336 1,096 0,9197 0,7405 20 19,49 6,324 3,686 2,552 1,920 1,515 1,234 1,028 0,8784 0.6919 30 14,62 5,691 3,455 2,436 1,851 1,471 1,204 1,008 0,8683 0,6761 40 13,00 5,420 3,350 2,382 1,819 1,450 1,189 0,9981 0,8641 0,6687 50 12,18 5,269 3,290 2,350 1,800 1,437 1,181 0,9925 0,8619 0,6647 60 11,70 5,173 3,251 2,330 1,787 1,429 1,175 0,9888 0,8605 0,6616 80 11,14 5,058 3,204 2,305 1,772 1,419 1,168 0,9840 0,8590 0,6584 100 10,83 4,991 3,177 2,290 1,763 1,413 1,164 0,9816 0,8580 0,6564 9,746 4,742 3,070 2,232 1,728 1,390 1,148 0,9710 0,8549 0,6482 С.n 10 17,58 6,109 2,868 1,474 0,7502 0,3344 0,0826 -0,0694 -0,1981 20 49,91 10,75 4,505 2,254 1,184 0,5975 0,2500 0,0373 -0,0856 -0,2216 30 35,98 9,397 4,107 2,089 1,102 0,5533 0,2253 0,0245 -0,0883 -0,2206 40 31,36 8,819 3,927 2,012 1,064 0,5323 0,2136 0,0185 -0,0891 -0,2262 50 29,06 8,499 3,825 1,967 1,041 0,5200 0,2068 0,0150 -0,0894 -0,2238 60 27,68 8,296 3,750 1,938 1,026 0,5120 0,2023 0,0127 -0,0895 -0,2271 80 26,10 8,050 3,680 1,900 1,008 0,5020 0,1970 0,0100 -0,089 -0,2287 100 25,30 7,910 3,630 1,880 0,9980 0,4960 0,1940 0,0080 -0,089 -0,2292 22,19 7,383 3,450 1,801 0,9562 0,4734 0,1807 0,0019 -0,0891 -0,2309 A.n 10 39,04 12,052 5,609 3,233 2,172 1,650 1,384 1,255 1,170 20 140,7 23,96 9,136 4,666 2,850 2,000 1,570 1,350 1,248 1,159 30 100,4 20,96 8,416 4,410 2,743 1,949 1,546 1,339 1,248 1,165 40 87,06 19,68 8,088 4,292 2,692 1,925 1,534 1,335 1,249 1,161 50 80,39 18,97 7,901 4,223 2,662 1,911 1,528 1,332 1,249 1,165 60 76,40 18,52 7,781 4,179 2,643 1,902 1,524 1,331 1,249 1,162 60,53 16,50 7,219 3,967 2,550 1,859 1,503 1,323 1,251 1,162 Уравнение для дополнительного фактора : , (21) Примечание - и f зависят от значения , объема выборки n, и соотношения r/n, и f являются независимыми от . Таблица 7 - f и H(f) как функции от 0,221 0,490 1,645 1,774 1,923 2,096 2,299 2,541 2,681 f 10,00 5,000 2,000 1,900 1,800 1,700 1,600 1,500 1,450 H(f) 0,103 0,213 0,577 0,611 0,650 0,693 0,742 0,798 0,830 2,834 3,003 3,191 3,401 3,636 3,901 4,201 4,543 4,935 f 1,400 1,350 1,300 1,250 1,200 1,150 1,100 1,105 1,000 H(f) 0,863 0,900 0,940 0,983 1,030 1,081 1,138 1,201 1,270 Математические функции: 2: f=(8+12)/(+6) H(f)=(15f+5f+6)/(15f+6f) 25: f=3,509-1,3055+0,2480-0,0175 H(f)=0,08832+0,3218-0,0167 Тогда границы доверительного интервала для G: верхняя граница: ; (22) нижняя граница: . (23) 8.3 Доверительный интервал для параметра масштаба 8.3.1 Метод для всех выборок Границы двусторонних доверительных интервалов для параметра масштаба при уровне доверия (1-) рассчитывается методом итераций: , (24) Итерации могут быть начаты с . После каждой итерации новые значения и рассчитываются по методу, описанному в 8.2. Итерации должны быть прекращены, когда два последовательных значения как , так и равны с требуемой точностью. Например, для оценки результатов испытаний прочности разница меньше 0,1% дает достаточную точность. 8.3.2 Метод для нецензурированной выборки В случае нецензурированной (полной) выборки могут быть использованы следующие простые уравнения: , (26) с коэффициентами T и Т, взятыми из таблицы 8. Таблица 8 - Коэффициент Т n р=1-/2 p=/2 0,975 0,95 0,9 0,75 0,25 0,1 0,05 0,025 5 1,4897 1,107 0,772 0,349 -0,444 -0,888 -1,247 -1,5675 6 1,2233 0,939 0,666 0,302 -0,385 -0,740 -1,007 -1,3247 7 1,0642 0,829 0,598 0,272 -0,344 -0,652 -0,874 -1,1437 8 0,9548 0,751 0,547 0,251 -0,313 -0,591 -0,784 -1,0096 9 0,8738 0,691 0,507 0,235 -0,289 -0,544 -0,717 -0,9122 10 0,8114 0,644 0,475 0,222 -0,269 -0,507 -0,665 -0,8387 11 0,7603 0,605 0,448 0,211 -0,253 -0,477 -0,622 -0,7790 12 0,7176 0,572 0,425 0,202 -0,239 -0,451 -0,587 -0,7326 13 0,6815 0,544 0,406 0,194 -0,228 -0,429 -0,557 -0,6894 14 0,6502 0,520 0,389 0,187 -0,217 -0,410 -0,532 -0,6572 15 0,6235 0,499 0,374 0,180 -0,208 -0,393 -0,509 -0,6266 16 0,5989 0,480 0,360 0,175 -0,200 -0,379 -0,489 -0,6016 17 0,5778 0,463 0,348 0,170 -0,193 -0,365 -0,471 -0,5795 18 0,5577 0,447 0,338 0,165 -0,187 -0,353 -0,455 -0,5566 19 0,5405 0,433 0,328 0,161 -0,181 -0,342 -0,441 -0,5356 20 0,5254 0,421 0,318 0,157 -0,175 -0,332 -0,428 -0,5187 22 0,4958 0,398 0,302 0,150 -0,166 -0,314 -0,404 -0,4907 24 0,4719 0,379 0,288 0,144 -0,158 -0,299 -0,384 -0,4669 26 0,4509 0,362 0,276 0,138 -0,150 -0,286 -0,367 -0,4450 28 0,4326 0,347 0,265 0,134 -0,144 -0,274 -0,352 -0,4249 30 0,4156 0,334 0,256 0,129 -0,139 -0,264 -0,338 -0,4098 32 0,4014 0,323 0,247 0,125 -0,134 -0,254 -0,326 -0,3951 34 0,3879 0,312 0,239 0,122 -0,129 -0,246 -0,315 -0,3801 36 0,3755 0,302 0,232 0,118 -0,125 -0,238 -0,305 -0,3687 38 0,3648 0,293 0,226 0,115 -0,121 -0,231 -0,296 -0,3578 40 0,3544 0,285 0,220 0,113 -0,118 -0,224 -0,288 -0,3479 42 0,3450 0,278 0,214 0,110 -0,115 -0,218 -0,280 -0,3394 44 0,3346 0,271 0,209 0,108 -0,112 -0,213 -0,273 -0,3289 46 0,3286 0,264 0,204 0,105 -0,109 -0,208 -0,266 -0,3219 48 0,3210 0,258 0,199 0,103 -0,106 -0,203 -0,260 -0,3136 50 0,3136 0,253 0,195 0,101 -0,104 -0,198 -0,254 -0,3073 52 0,3067 0,247 0,191 0,099 -0,102 -0,194 -0,249 -0,3019 54 0,3012 0,243 0,187 0,097 -0,100 -0,190 -0,244 -0,3939 56 0,2953 0,238 0,184 0,096 -0,098 -0,186 -0,239 -0,2887 58 0,2895 0,233 0,181 0,094 -0,096 -0,183 -0,234 -0,2840 60 0,2839 0,229 0,177 0,092 -0,094 -0,179 -0,230 -0,2788 62 0,2791 0,225 0,174 0,091 -0,092 -0,176 -0,226 -0,2735 64 0,2743 0,221 0,171 0,089 -0,091 -0,173 -0,222 -0,2687 66 0,2697 0,218 0,169 0,088 -0,089 -0,170 -0,218 -0,2647 68 0,2656 0,214 0,166 0,087 -0,088 -0,167 -0,215 -0,2612 70 0,2618 0,211 0,164 0,085 -0,086 -0,165 -0,211 -0,2573 72 0,2573 0,208 0,161 0,084 -0,085 -0,162 -0,208 -0,2530 74 0,2542 0,205 0,159 0,083 -0,084 -0,160 -0,205 -0,2495 76 0,2504 0,202 0,157 0,082 -0,083 -0,158 -0,202 -0,2456 78 0,2466 0,199 0,155 0,081 -0,081 -0,155 -0,199 -0,2427 80 0,2438 0,197 0,153 0,080 -0,080 -0,153 -0,197 -0,2391 85 0,2352 0,190 0,148 0,077 -0,078 -0,148 -0,190 -0,2326 90 0,2286 0,185 0,143 0,075 -0,075 -0,144 -0,184 -0,2260 95 0,2218 0,179 0,139 0,073 -0,073 -0,139 -0,179 -0,2197 100 0,2162 0,175 0,136 0,071 -0,071 -0,136 -0,174 -0,2132 110 0,2056 0,166 0,129 0,067 -0,067 -0,129 -0,165 -0,2027 120 0,1962 0,159 0,123 0,064 -0,064 -0,123 -0,158 -0,1946 8.4 Доверительный интервал для значения x величины X заданного значения G(x) функции распределения 8.4.1 Метод для всех выборок Доверительный интервал для х заданной G(x) может быть вычислен путем решения трансцендентного уравнения: . (28) Эти уравнения могут быть решены путем варьирования переменной х процедурой, описанной в 8.3.1, в качестве метода последовательных приближений. Однако в большинстве случаев доверительные интервалы для х могут быть быстрее определены для заданного значения G(х) по диаграмме Вейбулла. Для этой цели границы доверительного интервала, определенные в соответствии с 8.2, например G(x) и G(x), должны быть рассчитаны для ограниченного числа значений х и нанесены на диаграмму Вейбулла. В пределах графика на диаграмме Вейбулла доверительные интервалы для х, задаваемого G(x), могут быть определены напрямую. Эта процедура становится неточной при малых значениях G(x), как в случаях, когда степень свободы f распределения хи-квадрат принимает значения меньше 1. Предельные кривые доверительного интервала функции распределения G(x) должны быть линейно экстраполированы, графически или численно. Графическая экстраполяция позволяет непосредственно определить границы доверительного интервала х из диаграммы Вейбулла. Для численного определения доверительного интервала заданного значения по точкам следует выбирать значения , и для этого доверительный интервал функции распределения G(x) рассчитывается по 8.2 для получения доверительных интервалов и . Выбранное значение должно соответствовать приблизительно нижней границе диапазона измеренных значений х. Тогда границы доверительного интервала значения следует вычислять с использованием следующих уравнений: , (29) 8.4.2 Метод для нецензурированной выборки Для G0,632 могут быть использованы следующие простые уравнения: , (31) Значения и должны быть рассчитаны в соответствии с 8.3.1 или 8.3.2. Этот упрощенный метод расчета приводит к более осторожной оценке доверительного интервала х, по сравнению с более точным методом экстраполяции, как описано в 8.4.1. В выборках, где 20 и 5, и для значений G<0,1 должны быть использованы следующие уравнения, дающие лучшее приближение к точному методу, описанному в 8.4.1: , (33) А.1 Нецензурированная выборка А.1.1 Данные Таблица А.1 - Результаты эксперимента по определению напряжения разрушения Номер образца Напряжение разрушения, N/mm 1 41,26 2 42,54 3 44,31 4 44,43 5 44,67 6 45,02 7 45,37 8 46,08 9 46,08 10 46,55 11 47,86 12 48,21 13 48,21 14 48,31 15 49,63 16 50,34 17 50,43 18 50,69 19 50,78 20 51,05 21 51,05 22 51,05 23 51,76 24 53,17 А.1.2 Статистическая оценка А.1.2.1 Точечное оценивание Метод описан в 6.2. Из таблицы 3, для n=24 , k=1,4975: s=int(0,84x24)=20. Отсюда =18,67 и =49,26 N/mm. А.1.2.2 Оценка доверительных интервалов Для коэффициента доверия 95% доверительные интервалы: 1-/2=0,975 и /2=0,025. а) Метод определения доверительного интервала для параметра формы приведен в 8.1. Из таблицы 4, с помощью линейной интерполяции, f/n=2,918, так что f=70,03. Из таблицы 5, =95,05 и =48,78. Отсюда =25,34 и =13,01. б) Метод определения доверительных интервалов для G(х) приведен в 8.2, и результаты вычислений приведены в таблице А.2. Таблица А.2 - Результаты вычислений согласно 8.2 G(x) y f H(f) G G 99 53,46 -1,5276 0,08670 24,054 0,04215 4,8054 39,433 12,440 99,96 91,67 95 52,24 -1,0966 0,06243 33,026 0,03058 3,0869 50,757 19,067 99,13 83,17 80 50,53 -0,4752 0,04608 44,395 0,02269 1,6452 64,679 27,887 90,90 64,42 63,21 49,26 0 0,04838 42,331 0,02381 1,0241 62,179 26,259 77,78 47,02 10 43,67 2,2488 0,2343 9,4985 0,1090 0,1177 19,751 2,973 21,71 3,62 1 38,5 4,6013 0,7380 3,6005 0,3027 0,01359 10,426 0,377 3,86 0,14 Рисунок 1 показывает значения G(x), G, G из таблицы А.2, графически нанесенные на вейбулловскую (вероятностную) бумагу соответственно для каждого из таблицы А.2, вместе с результатами данных предела прочности из таблицы А.1. с) Метод определения доверительных интервалов параметра масштаба приводится в 8.3. Таблица А.3, полученная с использованием метода 8.3.1, показывает результаты последовательных итераций для определения и . Таблица А.3 - Результаты последовательных итераций согласно п.8.3.1 Номер итерации 0 49,26 49,26 1 50,47 48,19 2 50,44 48,08 3 50,44 48,06 После трех итераций разница достаточно мала, что позволяет остановить итерационный процесс. Отсюда =50,44 N/mm и =48,06 N/mm. Тем не менее, так как это нецензурированная выборка, упрощенная процедура, описанная в п.8.3.2, также может быть использована. Из таблицы 8, Т=-0,4669 и Т=0,4719. Отсюда =50,51 N/mm и =48,03 N/mm. д) С коэффициентом доверия 95% доверительные интервалы для х при G=0,1% могут быть определены либо графически из рисунка А.1, или численно методом, описанным в 8.4.1. Графическая экстраполяция на рисунке А.1 дает: x=38,0 N/mm =34,0 N/mm x=30,1 N/mm. Для численного метода удобно полагать =38,50 N/mm, что соответствует =1%. По таблице А.2 уже были проведены расчеты и получено: =3,86% и =0,14%. Отсюда x=38,00 N/mm и x=29,03 N/mm. Существует хорошее соответствие между графическим и численным методами. Для нецензурированной выборки упрощенный метод, описанный в 8.4.2, может быть использован. Поскольку n>20, G<0,1 и >5, полученные из А.1.2.1 значения могут быть использованы в уравнениях 8.4.2. Отсюда x=31,51 N/mm и x=28,97 N/mm. Это также дает хорошее соответствие между графическим и полным численным методами. А.2 Цензурированная выборка А.2.1 Данные Та же выборка, что приведена в таблице А.1, используется для этого примера, но предполагается, что образцы не могут иметь напряжение разрушения больше 50 N/mm. Таким образом, данные принимают вид, показанный в таблице А.4. Таблица А.4 - Результаты эксперимента для определения напряжения разрушения Номер образца Напряжение разрушения, N/mm 1 41,26 2 42,54 3 44,31 4 44,43 5 44,67 6 45,02 7 45,37 8 46,08 9 46,08 10 46,55 11 47,86 12 48,21 13 48,21 14 48,31 15 49,63 16 >50 17 >50 18 >50 19 >50 20 >50 21 >50 22 >50 23 >50 24 >50 Уровень цензурирования определяется значениями: n=24 , r=15 и r/n=0,625. А.2.2 Статистическая оценка А.2.2.1 Точечное оценивание Метод описан в 6.1. Для n=24 и r/n=0,625, из таблицы 1, k=0,7271 и, из таблицы 2, С=-0,0937. Отсюда =14,67 и =49,95 N/mm. А.2.2.2 Оценка доверительных интервалов Для коэффициента доверия 95% доверительные интервалы: 1-/2=0,975 и /2=0,025. а) Метод определения доверительного интервала для параметра формы приведен в 8.1. Из таблицы 4, с помощью линейной интерполяции, f/n=1,411, так что f=33,86. Из таблицы 5, =51,80 и =19,69. Отсюда, =22,44 и =8,53. б) Метод определения доверительного интервала для G(х) приведен в 8.2. Из таблицы 6, В=0,05951, С=0,02062 и А=0,0781. Результаты вычислений приведены в таблице А.5. Таблица А.5 - Результаты вычислений согласно 8.2 G(x) y f H(f) G G 99 55,43 -1,5271 0,2799 8,1008 0,1285 5,2362 13,215 2,232 99,98 76,37 95 53,83 -1,0966 0,1950 11,225 0,0917 3,2841 22,239 3,948 99,85 68,50 80 51,60 -0,4768 0,1113 18,855 0,0540 1,7002 32,659 8,809 94,74 54,81 63,21 49,95 0 0,0781 26,595 0,0381 1,0388 42,680 14,278 81,12 42,75 10 42,85 2,2492 0,2864 7,9377 0,1312 0,1203 17,440 2,149 23,23 3,20 3 39,37 3,4917 0,6596 3,9331 0,2753 0,0401 11,023 0,4661 10,63 0,474 2 38,28 3,9036 0,8239 3,3067 0,3318 0,0281 9,899 0,2982 8,07 0,253 1 36,50 4,6021 1,1487 2,5804 0,4348 0,0155 8,521 0,147 4,99 0,088 На рисунке 2 приведены значения величин G(x), G и G из таблицы А.5, нанесенные на бумагу Вейбулла соответственно каждому значению из таблицы А.5, вместе с результатами данных прочности из таблицы А.4. с) Метод определения доверительных интервалов параметра масштаба приведен в 8.3.1. В таблице А.6 приведены результаты последовательных итераций для определения и . Таблица А.6 - Результаты последовательных итераций согласно 8.3.1 Номер итерации 0 49,95 49,95 1 51,98 48,24 2 52,54 48,30 3 52,75 48,30 4 52,84 48,30 5 52,88 48,30 После пяти итераций, разница достаточно мала, что позволяет остановить итерационный процесс. Отсюда =52,88 N/mm и =48,30 N/mm. д) С коэффициентом доверия 95% доверительные интервалы для х при G=0,1% могут быть определены либо графически на рисунке А.1, либо численно методом, описанным в 8.4.1. Графическая экстраполяция на рисунке А.2 дает: x=35,8 N/mm, =30,2 N/mm, x=25,3 N/mm. Для численного метода удобно полагать =39,37 N/mm, что соответствует =3%. Из таблицы А.5, расчеты уже были произведены и получено: =10,63%, =0,474%. Отсюда x=36,73 N/mm и x=22,63 N/mm. Существует хорошее соответствие между графическим и численным методами. В.1 - Диаграмма Вейбулла [1] ИСО 3534 Статистика - Словарь и условные обозначения. _____________________ В Российской Федерации действует ГОСТ Р 50779.10-2000. ISO 3534 Statistics - Vocabulary and symbols [2] ИСО 2854:1976 Статистическое представление данных - Методы оценки и проверки гипотез о средних и дисперсиях. ISO 2854:1976 Statistical interpretation of data - Techniques of estimation and tests relating to means and variances. [3] Бейн Л.Дж.: Статистический анализ надежности и испытание на стойкость (долговечность) модели. Теория и методы: Марсель Деккер Издательство: 1978 Bain L.J.: Statistical Analysis of Reliability and Life Testing Models; Theory and Methods: Marcel Dekker Publishing Comp.: 1978. [4] МЭК 56 (ЦС) 162 Методика для проверки степени согласия, доверительных интервалов и нижней доверительной границы для данных распределения Вейбулла. IEC 56 (СО) 162 Procedures for goodness-of-fit tests, confidence intervals and lower confidence limits for Weibull distributed data. [5] ДИН 55303-7 Статистический анализ данных - Часть 7: Опыт и метод испытаний двухпараметрической функции распределения Вейбулла. DIN 55303-7 Statistische Auswertung von Daten - Teil 7: Schatz- und Testverfahren bei zweiparametriger Weibull-Verteilung. УДК 666.151:006.354 МКС 81.040.01 MOD Ключевые слова: прочность; распределение Вейбулла; критерий согласия; доверительный интервал; уровень доверия; цензурированная выборка 2 Нормативные ссылки
3 Термины и определения
4 Обозначения
5 Критерий согласия
* Формула соответствует оригиналу. - . 6 Точечная оценка для параметров и распределения
(8)
Таблица 2 - Коэффициент С
. (11) 7 Оценка данных и критерии
х = х0,01005 G(x)=0,01=1%. (15) 8 Доверительный интервал
Для нецензурированной выборки (r/n=1) хорошее приближение f/n=3,085-3,84/n
f
В, С и А получаются путем деления значений в таблице с помощью n.
Для нецензурированной выборки (r/n=1) хорошее приближение:
В=0,6482/n+0,805/n+1,13/n; С=-0,2309/n+0,15/n+1,78/n; А=1,162/n
где f и Н (f) определяются из таблицы 7.
. (25)
(27)
. (30)
. (32)
. (34)Приложение А
(информационное)
Примеры
%
N/mm
%
%
Рисунок А.1 - Оценка выборки из таблицы А.1
%
N/mm
%
%
Рисунок А.2 - Оценка выборки из таблицы А.4 Приложение В
(справочное)
Вейбулловская (вероятностная) бумага Библиография
Электронный текст документа
и сверен по:
, 2015